|
Za siedmioma maksimami funkcji sinus, za jedenastoma minimami funkcji cosinus żyły sobie trzy wektory: Alfa Jeden, Alfa Dwa i Alfa Trzy. Żaden z nich nie był ortogonalny do swoich braci i żaden nie wydłużał się ponad miarę. Żyli pracowicie, cicho i skromnie, służąc wiernie panu swemu - Wyznacznikowi. Od świtu do nocy przesuwali bracia linie proste, obliczali iloczyny skalarne i kąty nachylenia, podpierali okręgi w ich punktach styczności i wystawiali swoje grzbiety prostopadle do różnych krzywych, które zadawał im ekonom, bezlitosny Minor. Pomimo to byli szczęśliwi. W wolnych chwilach uprawiali swoje własne, styczne do chatki, pole wektorowe - a choć skromne to było poletko (trochę snopów koherentnych, nieco liści Kartezjusza, dwa czy trzy ślimaki Pascala), przecie nie narzekali na swój wektorowy los. Ale niedługo trwało szczęście braci.
"Obrócę płaszczyzne o kąt fi i przyrównam każdemu jedną współrzędną do zera" - zagroził Minor. A jakże to żyć wektorowi na płaszczyznie z jedną tylko wspólrzędną? Zmartwili sie bracia i postanowili uciec od Wyznacznika i jego Minora tam, gdzie znajdą dogodny i prawy układ współrzędnych. Pokłonili się starej Macierzy, objęli ją za kolumny, po raz ostatni obejrzeli się na swoje, teraz już zdegenerowane pole wektorowe, zaczerpnęli potencjału ze studni i poszli po trajektorii przed siebie. Ida, idą, idą - rodzinna chatynka widnieje na horyzoncie juz pod kątem mniejszym niz epsilon (a trzeba Ci wiedzieć, że dawniej nie takie epsilony bywały jak dziś) - aż tu nagle strumyk paraboliczny przed nimi sie modrzy i akurat zmienia znak pochodnej. "Ech, połowić by rybki-skalary" westchnął Alfa Jeden. "A czemu nie?" - zgodzili sie bracia. Z punktu brzegowego zarzucili do wody sieć, skonstruowaną uprzednio w misterny sposób za pomocą cyrkla i linijki. Ciagną, patrzą, oczom nie wierzą: w sieci pi-ryba trzepocze i ludzkim głosem przemawia: "Wypuście mnie, mileńcy moi, a ja się wam odwdzięczę". Wypuścili bracia pi-rybę na wolność i idą dalej. Patrzą, a przy drodze mały Argument leży. Próbuje się podnieść do kwadratu, ale że schudł juz bardzo i jest mniejszy od 1, więc co pomnoży się przez siebie, to staje się jeszcze mniejszy. Ulitowali się nad nim bracia, dodali do niego 1 i dopiero potem podnieśli do kwadratu, potem jeszcze raz i jeszcze raz. Wzrósł Argument i powiada "Dziękuje wam pięknie. Idźcie swoją drogą, a ja jeszcze się wam przydam".
Nie zdążyli bracia ani 1/n-tej mili przejść, patrzą, stoi przy drodze chatka na kurzej łapce. "Hej chatko, chatko, odwróć się do nas plusem, do lasu minusem"- wołają. Zakołysala sie chatka, odwróciła. Otwarły sie drzwi. Weszli bracia i dusza im się raduje. Stoi pod piecem stół, wszelkim jadłem zastawiony. Podjedli bracia, odpoczęli, potem znów pojedli i znów odpoczęli, następnie trzeci, czwarty, ... n-ty raz pojedli i odpoczęli. Już, już mieli przejść z n do granicy, a tu nagle zza pieca wychodzi stwór kosmaty: jakby kwantyfikator, ale czy on ogólny, czy szczególny - nie odróżnisz. "Bracia, bracia, ratujcie mnie. Już pół życia siedzę tu pod władzą czarownika de Morgana za to, że odmawiałem zaprzeczenia implikacji." Wzruszyli sie bracia losem Kwantyfikatora i zabrali go ze sobą. Idą wesoło przed siebie. Nagle świst. Obejrzeli się. Leci po niebie strzała. Uderza o ziemię, chowa ostrze, wygina złowrogo i zmienia się w śliski, ohydny znak negacji. "Uciekajmy co sił w nogach - wykrzyknął Kwantyfikator - bo nas tu wszystkich zaneguje". Puścili się bracia pędem, uciekli de Morganowi. Bajka przędzie się kołem, rzecz się toczy z mozołem.
Długo trwało, zanim ujrzeli bracia przed sobą mury prastarego grodu Trygonoma, który jeszcze car Heron wybudował. I rosły przed braćmi mury Trygonoma tak, jak rośnie wykres funkcji y = 1/x przy x dążącym do zera z prawej strony. I rozbiegały sie z trzech wież Trygonomu promienie złociste tak, jak są rozbieżne sumy częściowe szeregu harmonicznego 1+1/2+1/3+1/4+1/5+... I wiły się wokół murów fosy głębokie, zmieniając swój kierunek tak nieoczekiwanie jak wykres wartości bezwzględnej z x w zerze. Zaszli bracia do gospody "Pod Pierwiastkiem", pogadali z karczmarką, grubą Sigmą. Opowiedziała ona o wielkim nieszczęściu, jakie przed laty nawiedziło prastary Trygonom. Panował był w Trygonomie teraz juz stary i siwiuteńki ksiażę Tangens wraz ze swą piękna niegdyś małżonką Tangensoidą. Mieli przed laty śliczną córeczkę Asymptotę, ukochaną obojga księstwa i ludu. Miała być podporą dla rodziców na stare lata, gdy juz blisko im będzie do nieskończoności. Aliści zdarzyła się rzecz straszna. Na uroczyste nadanie kierunku Asymptocie nie zaproszono starej wróżki Transpozycji. Była to zła wróżka i prawdę powiedziawszy, nikt jej w księstwie nie lubił, a i ona stroniła od ludzi. Jednak, gdy dowiedziała się, że nie została elementem zbioru gości, z zemsty wyrzekła przepowiednię, że gdy księżniczka dojdzie do lat siedemnastu, porwie ją de Morgan. Nie bali się tej wróżby Tangens i Tangensoida. Wyznawali bowiem logikę wielowarstwową i nie przypisywali przepowiedni Transpozycji żadnej dodatniej wartości. Na dowód tego w dniu 17-tych urodzin Asymptoty wyprawiono wielki bal. Nie było równego mu balu ani przedtem, ani potem w całym obszarze ciagłości Tangensa. Młody lokaj Gauss, swieżo ukończywszy dowód konstrukcji, pięknie przystroił sale balowe siedemnastokątami foremnymi. Przybyły na bal wszystkie pokrewne funkcje trygonometryczne i hiperboliczne, ksiażęta dx i dy, a nawet stary dziwak Area-Cosinus Hiperboliczny, którego nikt nigdy bez krzywej łancuchowej nie widział. Kto chciał, tanczył, kto nie chciał, to robił co innego, bo kraj był demokratyczny. Starsi wspominali czasy, gdy jeszcze wzrastali i mieli dodatnia pochodną, średni wiekiem robili analizę harmoniczna swoim towarzyszkom, nieprzeliczalna służba na każde skinienie rózniczkowała gościom jadło i napitki. W zacisznych kącikach młodzi całkowali sie ukradkiem po dt, ale zanadto się z tym nie kryli. Ksiażę bowiem rozumiał młodzież i niejedna młoda wypukła funkcja znalazła na jego dworze styczność drugiego rzędu z jakimś przystojnym i silnie zbieżnym funkcjonałem. Nagły podmuch zgasił wszystkie świece, wśród gości pojawiły sie zbiory rozmyte, a gdy fagasi wnieśli nowe punktowe żródła swiatła, okazało się, że wśród uczestników balu nie ma już Asymptoty-krasawicy. Wykazano wnet (indukcyjnie, ze względu na liczbę obecnych na sali gości), że porwał ją de Morgan, zaprzeczając rozkazom księcia i warunkom wejścia na bal. Tak oto spelnila sie przepowiednia wróżki Transpozycji.
Od tej pory smutek zapanował w całym grodzie. Nikt nie rozwija się w szereg, nie całkuje i nie mnoży. Młode Rózniczki dawno juz zmieniły sie w stare Różnice, mało które zmieniły znak z - na +. Po bokach trójkątów grasują zdziczałe kąty i nie zawsze staremu wiernemu hajdukowi Euklidesowi udaje się je zsumować do 180 stopni. Głęboko zapadła braciom w duszę opowieść Sigmy i postanowili wyzwolić z rąk de Morgana nadobną Asymptote. Udali sie najpierw do wróża Bezouta. Siedzi Bezout za stołem, pierwiastki liczy kołem, gdy nie masz "u", kolego, nie przychodź do niego. Przynieśli bracia cztery nietrywialne pierwiastki, wręczają Bezoutowi i pytają, jak im pokonać de Morgana. "Trudna to sprawa - odrzecze Bezout. - Więzi on wiele kwantyfikatorów i pokonać go tylko możecie smiało omijając prawo wyłączonego środka. Ale oto ciemnieje moja kryształowa pseudosfera: znak, że uda sie wasze przedsięwzięcie. " Podziekowali bracia Bezoutowi, dodali jeszcze trzy pierwiastki (niezwyczajne, kwadratowe) i stoczyli się po linii najmniejszego spadku z murów Trygonoma. Kwantyfikator został barmanem pod pierwiastkiem, a Alfa Jeden, Alfa Dwa i Alfa Trzy poszli po gradiencie w kierunku widniejącego lasu, tak gęstego, jak liczby wymierne na prostej. Jak tu przejść? Ale oto machnął jeden brat przekrojem Dedekinda, machnął drugi, potem trzeci: skonstruowali bracia liczbę niewymierną 2sqrt(2) i przeszli przez las. Wnet zagrodził im drogę potok wypełniony cieczą nieściśliwą i nielepką. Niezwyczajny to potok - pełen turbulentnych wirów i punktów osobliwych. "Co robić? - dumają bracia. - Gdyby mieć chociaż spiralę logarytmiczną!". Ale któż to pyszczek z wody wystawia? Pi-ryba. Przewiozła braci, jednego po drugim, na druga stronę. Pokłonili się jej bracia w pas i poszli dalej, bo juz było widać ogromną górę Moduł a na niej zamek de Morgana. Doszli bracia pod sama górę i zmartwili się. Bo, wprawdzie do zamku droga prosta, stopnie zapraszają do wejścia, ale co to za stopnie? - śliskie jak lód, gładkie tak, że co postawisz nogę na jednym to spadasz na drugi, próbują bracia i próbują, ale nawet na pierwszy stopień nie weszli. Nagle jak spod ziemi wyrasta Argument - ten, którego kiedyś od zniknięcia uratowali. Podstawił się Argument do zmiennej niezależnej, zaburzył współczynniki przy równaniach schodów, zmniejszył gładkość i weszli bracia na górę. Ale do samego zamku jeszcze długa droga. Wejścia pilnuje pies Boole-dog, sierść na nim jeży się jak wykres funkcji y = sin 1/x, szczerzy zęby i warczy. Za Zapisem Peauceliera stoi: kto psa pokona, wnet go Inwersor w środek inwersji postawi i za płaszczyznę wyrzuci. Nie stracili głowy bracia. Sinus 1/x przez x pomnożyli i go w zerze uciąglili. Potem owinęli się wstęgą Mobiusa i czekają. Zabrał się Inwersor do odwracania wstęgi Mobiusa, ale że jest to powierzchnia jednostronna, nic sie braciom nie stało. Wychodzi na to sam de Morgan z suką Negacją, operatorem Minusem i starym czarownikiem Tercjanem. Wektorom znaki pozamieniać chce, od poprzednich wartości odjąc i tak to przyrównać braci do zera. Pobledli bracia, "Już po nas - myślą. - Juz nie ujrzymy starej Macierzy". I stało by sie tak, gdyby nie Kwantyfikator "Istnieje Iks", który w samą porę przybiegł z Trygonomu, jeszcze w fartuchu barmana. Zagryzł Negacje, stał sie kwantyfikatorem "Istnieje Iks Taki, Że Nieprawda Że Igrek" i zaczął przekształcać de Morgana, a bracia pomagają mu z drugiej strony. Rachunki logiczne przeprowadzają, a z prawa wyłączonego środka nie korzystają. "Tertium non datur" - woła de Morgan, ale Tercjan nie słyszy. Upadł de Morgan. Już po nim. Otworzyli bracia de Morganowe nawiasy i zaraz ukazała im się długa linia prosta, w której natychmiast rozpoznali ksiezniczkę Asymptotę. Wkrótce nadjechał i sam Tangens. Wziął córkę w ramiona i rzekł braciom: "Mam ją tylko jedną, a was jest trzech. Niech najstarszy weźmie ją za żonę. Dam mu dogodne współrzędne: dwakroć PI/2 i grupę Translacji w dziedziczne władanie".
Nie minęło wiele niedziel, a w Trygonomie odbył sie huczny ślub, po którym nastąpiło skromne wesele. Byli na nim obecni wszyscy bracia: Alfa Jeden, Alfa Dwa i Alfa Trzy. Przybył (uszlachcony przez Tangensa) Argument w kokilce ciągnionej przez kare bułanki, Pi-ryba wystąpiła w przepięknej galarecie z jarmużem i bedłkami, a piwo gościom rozlewał sam Kwantyfikator, obecnie juz właściciel zajazdu "U z daszkiem". Nie musieli długo czekać księstwo. Alfa Jeden podziałał sobą na ksiezniczkę Asymptotę (teraz juz swoją żonę x=PI/2) tak, że na płaszczyźnie pojawiły się wkrótce w regularnych odstępach nowe asymptoty, a stary Tangens i Tangensoida mogli wreszcie spokojnie przejść do nieskonczoności.
|
|
